寰球中的基本力之一是弱力。弱力触及将原子合并在一说念或将它们分开......

作家：Ursula Whitcher（乌苏拉·惠彻） 2023-7-1

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-4

你传闻过句子末尾的句号（period）和正弦波的周期（period，该英文单词一词多义，译者注）。周期这个词在数论中也有稀疏的含义。这些周期对于搞定粒子物理知识题非常灵验。在本月的专栏中，我将告诉你联系周期是什么、物理学的来历以及通盘这些与甜甜圈几何阵势的关系的更多信息。

从甜甜圈到积分

也许你听过这么一个见笑：拓扑学家无法鉴识咖啡杯和甜甜圈。（如若你不老到，请巡视 Keenan Crane 和 Henry Segerman 画图的联系两者变换的紧密插图。）

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几何学家八成鉴识咖啡杯和甜甜圈。咱们甚而不错鉴识不同类型的甜甜圈。

举例，这是一个厚而甜的甜甜圈：

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一个厚厚的饼状甜甜圈，上头隐敝着松软的糖

（像片由5th Luna拍摄， CC BY-NC 2.0）

这是一个薄脆的甜甜圈：

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一个薄脆的甜甜圈，中间有个大孔

（像片由Janet Bianchini拍摄， CC BY-NC 2.0）

但甜甜圈的几何阵势是如斯乐而忘返，一朝你开动查验它，就很难再筹议其他事情了！

让咱们修订式地描画一下两个甜甜圈之间的区别。理念念化的数学圆环曲面称为环面（torus，复数tori）。咱们不错使用两个圆来表征圆环的阵势，一个圆围绕外部，另一个圆穿过中心的孔。在一个厚厚的饼状环面上，这两个圆的大小大约相易。

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理念念化数学的厚厚的甜甜圈，其圆围绕中心孔并通过中心孔。

在一个薄脆的圆环面上，外圆比内圆大得多。

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理念念的数学的薄脆甜甜圈，大圆围绕中心孔，小圆穿过中心孔

在这些示例中，圆很容易测量。但或然环面以更复杂的神志出现。举例，假定x和y是复数变量，t是复数参数。筹议方程的解

y² = x(x-1)(x-t)

这即是闻名的（对于数论学家来说）勒让德椭圆弧线（elliptic curve）族。如若咱们在“无限远”处引入一个解，那么从拓扑学上来说，它即是一个环面族。很难画图两个复变量方程的解，但咱们不错画图实数值。当设参数t等于3 时，如下所示：

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具有两个实数重量的椭圆弧线

你不错将画图实数点的图形看作以一定角度切开甜甜圈。在此图中，你不错看到其中一个圆的歪斜版块和第二个圆的一部分。

测量这两个圆的长度很辣手。咱们不错尝试微积分课上的一个通用数学计谋：修复一个积分来测量弧长。在这种情况下，顺应的积分是：

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这里，积分是在环面/椭圆弧线中顺应的简短闭合弧线γ上进行的。

但有一个问题！我将用一张容易浑浊的橙色猫的漫画来解释它。

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画了一只睁大眼睛的猫，它说哇，这个积分简直很难！

猫莫得说谎：这个积分简直很难。微积分课上的圭臬技能不起作用。事实上，这个积分莫得阻塞步地的代数解。

周期和微分方程

积分 

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是一个周期的示例。对于数论学家来说，周期是一个通过在顺应的子空间上求代数抒发式的积分而获得的数字。（从技能上讲，咱们应该八成使用不等式和有理所有的代数方程组来描画咱们正在积分的区域。）

许多意义的常量，举例 π 和 ㏒ 2，都不错写成周期。对于周期有许多大而意义的问题：举例，咱们怎么描画哪些数字动作周期出现？使用积分运算，不错讲解周期相加或相乘会产生一个新周期。这使得周期具有环（ring）的结构。另一个悬而未决的大问题是描画周期环高慢的所联系系。

让咱们谢尽头来尝试成见咱们的特定周期。咱们知说念积分的恶果是一个取决于参数t的数字，因此咱们将积分视为函数P(t)。咱们不错对其求导数：

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当咱们求导时，积分艳丽下的抒发式变得愈加复杂，但它保合手相易的一般阵势。通过找到一个公分母（common denominator），咱们不错详情P(t)、P'(t)和P''(t)之间的关系：

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这是一个微分方程！（它被称为Picard-Fuchs 方程，以法国数学家 Émile Picard（埃米尔·皮卡） 和德国犹太数学家 Lazarus Fuchs（拉扎鲁斯·富克斯） 的名字定名。）动作二阶微分方程，该 Picard-Fuchs 方程有两个寂寞的解。这些解对应于环面上的两个不同的圆。

求解微分方程的圭臬设施是使用无限级数（infinite series）。在这种情况下，咱们周期的微分方程的解之一不错写成以下级数：

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其平分子触及一个抒发式

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看起来很像高涨阶乘移动了1/2同样。如若咱们用简写 

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 替换这个抒发式，咱们的级数就会获得更紧凑的默示法：

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这是一个闻名的级数，称为超几何级数（hypergeometric series），其分子参数为1/2，1/2；分母参数为1 （因为分母中只须一个阶乘）。通盘这个词级数或然用更紧凑的艳丽抒发：

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联系求解经由的更多详备信息，包括第二个寂寞周期的描画，请参阅 Don Zagier 的深远论文《微分方程的算术和拓扑》  https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.4171/176-1/33/HirzebruchLectureECM2016.pdf 。我念念向你展示表面物理学中出现的一个更复杂的周期。

日落和费曼图

在粒子物理学中，描画电子和光子等基本粒子之间的相互作用触及谋略贫窭的积分。（更恶运的是，从数学家的角度来看，这些积分可能并不老是精良界说的！）物理学家使用复杂性箝制增多的称为费曼图（Feynman diagrams）的图表来组织这些谋略。创建和操作费曼图有特定的章程，但在初步雷同时，东说念主们不错念念象它们讲解了粒子再见、相互作用并可能阅历回荡，然后分说念扬镳的故事。

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具有多个轮回的费曼图

寰球中的基本力之一是弱力（weak force）。弱力触及将原子合并在一说念或将它们分开。它是狂放辐射性衰变经由并使碳14检测年事成为可能的力量。

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一棵树的横截面

东说念主们不错运用树木年轮来校准碳-14测年的设施。比尔·卡斯曼拍摄（寰球限制）。

要进行触及弱力的谋略，必须使用包含轮回的费曼图。这是一个带有两个轮回的费曼图，或然称为日落图（sunset diagram）。

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看起来像穿过圆心的箭头的费曼图

好意思国数学家斯宾塞·布洛赫（Spencer Bloch）和法国物理学家皮埃尔·范霍夫（Pierre Vanhove）联手扣问日落图。为了简化问题，他们使用了一个只须两个时空维度的模子。（念念象粒子跟着时期的推移沿着一条线往还移动。）他们假定相互作用经由中产生的通盘粒子都具有相易的质地m，有一个固定的外部动量K，而且他们输入了一个常数μ来均衡单元。恶果所以下日落积分：

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这个积分简直非常非常难！

要津问题之一是其分母可能为 0。要了解更多对于那儿分母覆没，咱们不错设

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恶果是一个取决于参数 t的弧线族：

(1+x+y)(x+y+xy) - txy = 0

这是 t=11 的恶果图。

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具有两个实数重量且对于直线 y=x 对称的椭圆弧线

该图的特征可能看起来很老到。咱们有一个歪斜的圆和另一个圆的一部分——甜甜圈切片又回顾了！换句话说，(1+x+y)(x+y+xy) - txy =0 是参数化的椭圆弧线族。

布洛赫和范霍夫接收了一种看似老到的计谋。他们设

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 来简化单元，然后寻找一个触及J的微分方程，

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由于该微分方程的右侧不为零，因此求解它比求解咱们之前看到的微分方程更复杂。圭臬微分方程设施分两步搞定此类问题。领先，求解皆次方程（homogeneous equation），假定右侧为零。然后，找到非皆次方程（inhomogeneous equation）的解，其中右侧短长零常数。

布洛赫和范霍夫讲解，对于J⊝的Picard-Fuchs 微分方程的皆次解不错用经典超几何级数来写：

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这个级数用触及 1/12和5/12的高涨阶乘替换咱们之前看到的 1/2。我使用 − 来引导为级数变量插入了更复杂的抒发式。

为了求解好意思满的非皆次方程，咱们需要另一个稀疏常数Li₂(z)，称为二重对数（dilogarithm）。二重对数不错写成无限级数。当|z| < 1时，

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二重对数亦然一个周期！咱们不错用二重积分来写它。

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因此，周期为咱们提供了一种精准的设施来描画日落图积分的解，同期亦然吃甜甜圈的情理！

进一步阅读

Spencer Bloch 和 Pierre Vanhove，日落图的椭圆二重对数。J. Number Theory 148 (2015), 328–364. MR3283183, arXiv:1309.5865 [hep-th]。

马克西姆·康采维奇和唐·扎吉尔，周期。Mathematics unlimited—2001 and beyond, 771–808, Springer, Berlin, 2001. MR1852188, IHEP

Stefan Müller-Stach， 什么是……周期？AMS 见告， 2014年9月

Don Zagier，微分方程的算术和拓扑。欧洲数学大会，717–776， Eur. Math. Soc., Zürich, 2018. MR3890449, MPIM

唐·扎吉尔 (Don Zagier)，《不凡的二重对数》。J. Math. Phys. Sci. 22 (1988), no. 1, 131–145. MR940391, MPIM

致谢

我感谢英国剑桥艾萨克·牛顿数学科学扣问场地 K 表面、代数环和动机同伦表面技俩时间赐与的复旧和见原招待，我在该扣问所的 30周年庆祝活动时间展示了该骨子的一个版块。这项职责获得了 EPSRC （编号EP/R014604/1）的复旧。

参考辛勤

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/07/01/period-math-physicals/

小乐数学科普：帽子戏法——好意思国数学会科普专栏

小乐数学科普：一种不同样的距离感——Maria Fox好意思国数学会专栏

小乐数学科普：矩阵是什么？——James Propp培育专栏

小乐数学科普：瞻望友谊和其他意义的图机器学习任务——译自AMS好意思国数学会专栏

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